Poesia Matemática

O quociente e a incógnita

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Pitágoras de Samos

Pitágoras é considerado um dos grandes matemáticos da Antiguidade. Pitágoras nasceu por volta de 580 a.C. na ilha grega de Samos. Viajou bastante pelo mundo, tendo visitado o Egipto e Babilónia, onde entrou em contacto com matemáticos, tendo conhecimento dos seus estudos sobre os conjuntos de números, agora com o seu nome, os triplos pitagóricos, e que já eram conhecidos dos cientistas e matemáticos babilónicos há mais de 1500 anos.

Fresco de Raphael

Os aspectos matemáticos dos magníficos trabalhos de arte e arquitectura, tais como os Jardins Suspensos, em Babilónia, e a Esfinge e as Pirâmides no Egipto, bem como outras das sete maravilhas do mundo antigo não devem ter passado despercebidos a Pitágoras, que deve também ter sido confrontado com as ideias religiosas e filosóficas do Oriente.

Quando voltou à Grécia, Pitágoras abandonou a ilha de Samos e mudou-se para Crotona, na "bota" italiana, que, assim como a maior parte do Sul da Itália fazia parte do mundo grego e aí fundou a Escola Pitagórica, cujo lema era "O número é tudo".

É-lhe atribuída a descoberta do Teorema de Pitágoras, que tem uma forte influência nos triplos pitagóricos.(Se deseja ver o Teorema de Pitágoras com animação no GSP consulte a página Escola Pitagórica).O teorema em si teve origem na Babilónia, séculos antes, visto que os Babilónios compreendiam muito bem os “triplos pitagóricos’. No entanto, os pitagóricos relacionaram-no com a geometria, generalizando o problema para além dos números naturais.

Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões praticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões.

A Pitágoras deve-se também o conceito geométrico do espaço, como ente contínuo e ilimitado, o estudo e construção dos poliedros regulares e o dos polígonos.

Pelo estudo das propriedades das figuras, traduzindo-se por meio de relações entre números, e das propriedades dos números em relação com a geometria, chegou à noção de número irracional e de grandezas incomensuráveis.

É muito difícil senão impossível, separar, nas investigações pitagóricas, a parte de Pitágoras da dos seus discípulos pois que, além do isolamento, era princípio da Escola Pitagórica que todos os conhecimentos deviam ser considerados como adquiridos em comum.

Depois da morte de Pitágoras por volta de 500 a. C. e da destruição do centro de Crotona, onde a maioria dos membros da Escola Pitagórica foram mortos, a filosofia e o misticismo dos números espalhou-se pelo mundo grego através dos restantes pitagóricos.

Filolau de Tarento aprendeu a filosofia da matemática através desses refugiados e foi o primeiro filósofo grego que escreveu a história e as teorias dos pitagóricos. Platão aprendeu a filosofia pitagórica dos números, a cosmologia e o misticismo através deste livro escrito por Filolau.

Posteriormente, o pitagórico Teodoro de Cirene (450 A. C.), como Platão indica no Teeteto, provava geometricamente que os números Ö 3, Ö 5, ...Ö 17, são incomensuráveis com a unidade. Nos Diálogos, Platão apresenta Teodoro, seu mestre, no acto de ensinar esta propriedade aos próprios discípulos mediante desenhos geométricos.

Retângulo de ouro

Se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um retângulo de ouro.
O retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade. Este fato não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o retângulo de ouro é de todos os retângulos o mais agradável à vista.

 

Construção de um retângulo de ouro

Basta seguir as indicações e ter à mão uma folha de papel, um lápis, compasso e uma régua ou esquadro.

1º Desenhar um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro);

2º Marcar os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado;

3º Traçar a reta que passa pelos pontos médios (verificar que o quadrado ficou dividido em dois retângulos congruentes);

4º Num dos retângulos traçar uma das suas diagonais.

5º Com o compasso desenhar a circunferência que tem centro no ponto médio de onde parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal;

6º Prolongar o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o comprimento do retângulo de ouro)

Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

A divisão de um segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.

O número de ouro é representado pela letra, em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.
Espiral de ouro.

Um retângulo de ouro tem a interessante propriedade: se o dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetido este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral de ouro.

Proporção Áurea

A Razão Áurea representa a mais agradável proporção entre dois segmentos ou duas medidas, é uma procura constante da harmonia e da beleza que leva Piet Mondrian a encontrar a matemática. Mondrian descobriu o famoso número de ouro e com ele chegou ao retângulo de ouro. Partilhou com Da Vinci a idéia de que a arte deveria ser sinônimo de beleza e movimento contínuo, por isso ambos utilizaram o retângulo de ouro. A razão de ouro exprime movimento, pois mantém-se em espiral até ao infinito, e o retângulo de ouro exprime a beleza, pois é uma forma geométrica agradável à vista. Assim, o retângulo de ouro passou a ser presença constante em suas pinturas.

Perfeição e harmonia

O número de ouro é um valor numérico aproximado de 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia.

O número de ouro é exatamente (1+raiz quadrada(5))/2, que aproximadamente é 1,618033988749894848204...

O número de ouro é considerado como sendo a “proporção divina” e foi utilizado ao longo da história, em variados contextos:

Na Grande Pirâmide de Gizé, construída pelos egípcios, o quociente entre a altura de uma face pela metade do lado da base é quase 1,618;

A Fídias atribui-se a construção do Partenon Grego em Atenas, templo representativo do século de Péricles, usando o Retângulo de Ouro (a razão entre o comprimento e a largura é o número de ouro) na sua base e fachada;

Euclides, no seu livro “Os Elementos”, utilizou o número de ouro para construir o primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos, o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares);

Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal;

A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o número de ouro está relacionada com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à seqüência de números de Fibonacci: as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro;

Frei Luca Pacioli publicou em 1509 um livro com o titulo de “De Divina Proportione”, com ilustrações de sólidos platônicos realizados pelo seu amigo Leonardo Da Vinci, no qual relaciona o número de ouro polígonos regulares e sólidos platônicos;

Kepler baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platônicos e na sua relação com o número de ouro;

Le Corbusier (arquiteto francês) e Salvador Dali são dois dos muitos artistas que utilizam o número de ouro nas suas obras.

O número é também utilizado para desenhar espirais semelhantes às que encontramos na Natureza, por exemplo, no centro dos girassóis, nas pinhas e nos moluscos.

Na atualidade algumas construções, como por exemplo, o edifício das Nações Unidas, em Nova Iorque, e até objetos do dia a dia, como, por exemplo, o cartão de crédito, estão ligados ao retângulo de ouro e desta forma estão ligados ao número de ouro.

Malba Tahan

Um enigmático problema com frações

Há problemas criados com tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes como a de um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X. Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente.

Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança:

O mais velho receberia a metade.

Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo!

O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais de camelo!

O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e de camelo!Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder à fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs:

- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.

Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

·      O mais velho recebe: de 36 = 18

·      O irmão do meio recebe: de 36 = 12

·      O caçula recebe: de 36 = 4

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando.

Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo?

O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fipara mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança.

Veja, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?

Explicação:

Tudo resultou, em resumo, do fato seguinte: Houve um erro dotestador. A metade de um todo, mais a terça parte desse todo, mais um nono deste todo, não é igual ao todo. Veja bem:1/2+1/3+1/9=17/18. Para completar um todo falta ainda 1/18 dessetodo. O todo, no caso, é a herança dos 35 camelos. 1/18 de 35 é igual a 35/18. A fração de 35/18 é igual a 1 17/18. Conclusão: feita a partilha, de acordo com o testador, ainda haveria uma sobra de 117/18. Foi-se distribuído, com o artifício empregado, distribuiu os 17/18 pelos três herdeiros (aumentando a parte de cada um) e ficou com a parte inteira da fração excedente.

O interessante problema que examinamos foi extraído de uma das obras do talentoso professor de Matemática e prolífico escritor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, que escreveu mais de cem obras, muitas delas abordando o lado recreativo e histórico da Matemática.

Seu nome é, no entanto, pouco conhecido. A razão é que ele assinou a maioria de suas obras com o pseudônimo de Malba Tahan.

"O homem que calculava" é o livro mais famoso de Malba Tahan. Converteu-se em um clássico da recreação matemática e da literatura juvenil. Foi daí que retiramos o intrigante enigma dos 35 camelos, esperando que nossos leitores, percebendo o engenho e a arte do autor, venham a ler a narrativa integral das aventuras matemáticas de Beremiz Samir.

Sequência de Fibonacci

 Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci resulta de um problema apresentado no livro Liber Abaci, escrito em 1202, por Leonardo de Pisa, um italiano que viajou pelo Oriente como mercador. Famoso matemático criou a sequência que leva o seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo do seguinte pressuposto:

Condições:

1. No primeiro mês temos um coelho macho e uma coelha fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer.

2. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês.

3. O período de gestação de um coelho dura um mês.

4. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses.

5. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e uma coelha fêmea.

6.Os coelhos nunca morrem.

Quantos coelhos existirão daqui a um ano?



No 1º mês há 1 casal de coelhos (o casal novo)

 No 2º mês há 1 casal de coelhos (o casal já é adulto)

No 3º mês há 2 casais de coelhos (o casal adulto e o casal jovem filho)

No 4º mês há 3 casais de coelhos (o casal adulto, o casal jovem filho e o casal que agora já é adulto)

Como se pode calcular o número de casais de coelhos em cada mês? Em cada mês, há o mesmo número de casais adultos do mês anterior mais os casais que, no mês anterior, eram jovens e que cresceram mais tantos casais filhos jovens como os casais adultos do mês anterior, os pais. Fibonacci reparou que, em cada mês, o número de casais de coelhos era igual à soma dos casais dos dois meses anteriores. A sequência de casais era: 1; 1; 2; 3; 5; 8; … Cada valor da sequência, exceto os dois primeiros, obtém-se a partir da soma dos dois anteriores. Esta sequência é conhecida por Sequência de Fibonacci.

Problema dos armários

Problema dos armários

Numa escola, ao longo de um corredor comprido estão enfileirados 1000 armários numerados consecutivamente de 1 a 1000 com suas portas fechadas. 1000 alunos da Escola também numerados de 1 a 1000 resolvem fazer a seguinte brincadeira: O aluno número 1 passa pelo corredor e abre todos os armários; em seguida, o aluno número 2 passa e fecha todos os armários de número par; depois passa o aluno de número 3 e inverte a posição das portas de todos os armários múltiplos de 3, isto é, ele os fecha se eles estiverem abertos e os abre se eles estiverem fechados; depois é a vez do aluno número 4 que inverte a posição das portas dos armários múltiplos de 4 e assim sucessivamente. Após a passagem dos 1000 alunos, quantos e quais armários ficarão abertos?