Simetria na Natureza

A existência de uma natureza geométrica não passou despercebida aos sábios da Antiguidade, e já Pitágoras se referia a este fenômeno e efetuou vários estudos a esse respeito. Aliás, foi ele próprio que afirmou: "Todas as coisas são números" .

Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria.

A simetria na Natureza é um fenômeno único e fascinante. Esta ideia surge naturalmente ao espírito humano, remetendo-o para um equilíbrio e proporção, padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem e perfeição. Estes são alguns dos vocábulos que resumem reações que temos inerentes às simetrias que abundam na Natureza, nas formas vivas e inanimadas.

Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas e em diferentes locais.

Uma figura geométrica plana diz-se simétrica se for possível dividi-la por uma reta, de forma que as duas partes obtidas se possam sobrepor por dobragem. As retas que levam a esse tipo de divisão chamam-se eixos de simetria da figura.





Um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza é o caso da borboleta, a qual apresenta um único eixo de simetria.

A Proporção Humana

Vitrúvio fez um dos mais conhecidos estudos sobre simetria dos templos e apresenta a proporção entre as partes do corpo tal qual a cabeça seria 1/8 da altura do corpo, os pés seriam 1/6 do corpo e a face seria 1/10 do corpo. Essa regra indica espantosa diferença com a natural harmonia corporal, como fazem alguns comentários da renascença, que muitos estimulam a correção. Assim, Leonardo da Vinci, informa para largura do busto como ¼ da altura do corpo, cuja razão aplica-se sobre os ombros. Da Vinci também reduziu o pescoço de 1/15 do corpo humano para 1/24 e o pé de 1/6 da altura do corpo para 1/7.

Figura : Homem Vitruviano

 





No homem vitruviano, que com membros abertos deixa-se tocar por um círculo, cujo centro situa-se no umbigo. Um quadrado resulta da igualdade de altura a largura sobre os braços estendidos, cujo ponto médio fica no sexo, como mostra o desenho realista de Da Vinci. De fato a maioria das ilustrações da Idade Media mostram a simpatia por microcosmos e macrocosmos como uma figura masculina com medidas dos membros estendidos no circulo, raramente em retângulo ou quadrado. Vitrúvio também discute os números perfeitos, seis e dez, cuja adição dá o perfeito número 16. A perfeição será explicada em relação às reduzidas medidas humanas como dedo, palma, pé e braço. A discussão de número perfeito é baseada na forma humana. Vitrúvio coloca a metade do corpo humano como forma perfeita, por ordem numérica como exemplo para arquitetura. O que não pode ser tomada da simetria do corpo “a média proporcional”, e a razão geométrica de Pitágoras.

Números amigáveis

Atribui-se a Pitágoras o dito de que “amigo é aquele que é o outro eu”, como 284 e 220. Talvez por isso números assim sejam chamados de número amigáveis: são os números que têm a propriedade de um ser a soma dos divisores do outro. Por exemplo, os divisores de 220 são:

1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110.

Somando tudo, dá 284.

 

Já os divisores de 284 são:

 1,2,4,71,142

Que somam 220.
Números amigáveis não são fáceis de achar, e durante muito tempo imaginou-se que 220 e 284 fossem o único par. Feiticeiros medievais consideravam a dupla especialmente importante na criação de talismãs.
Um segundo par foi descoberto pelos árabes no século XIII, 17.296 e 18.416, e depois redescoberto na Europa por Pierre de Fermat, em 1636. O terceiro par foi descoberto por Descartes, 9.363.584 e 9.437.056. Leonhard Euler, um sério candidato ao título de maior gênio matemático deste sistema solar, encontrou mais de 60 dessas criaturas.
Mas só em 1866 que foi encontrado um par de tamanho mais manejável, 1184 e 1210. O autor da descoberta foi um menino de 16 anos, Niccolò Paganini (não, não é o compositor e violinista!). Hoje, conhecem-se alguns milhares de pares, a maioria determinada por computador. Mesmo assim, trata-se de uma combinação rara: entre 0 e 1 bilhão, há apenas 586 pares de amigáveis.

Número capicua

Um número capicua é aquele que quando lido da direita para esquerda ou da esquerda para direita representa sempre o mesmo valor, como por exemplo, 11, 22, 33, 44, 77, 434, 6446, 82328. Para se obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre o novo número capicua como, por exemplo: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que o número capicua. 

 Veja o que acontece se multiplicarmos o número 37 pelos 9 primeiros múltiplos de 3!

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37 = 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

 

A palavra Capicua tem origem catalã "cap i cua", "cabeça e cauda". Conhecido também por número palíndromo é um número (ou conjunto de números) que, lido da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, é idêntico. Veja exemplos abaixo.

• 5 (todo número de um dígito é capicua).
• 11
• 242
• 20002
• 1455665541
• 324567765423
• 123456789987654321
• 135792468864297531

Podemos achar um número capicua ou palíndromo a partir de outro, invertendo-se a ordem dos algarismos e somando-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua. Tal fato é chamado também de conjectura palíndroma.

Exemplo:

 

Primeiro passo: Escolhe-se um número, no caso, 84;
84 + 48(ordem invertida) = 132;
132 + 231 = 363, que é um Número Capicua

Não se sabe até hoje se tal conjectura é falsa ou verdadeira. Existem várias outras particularidades sobre os números capicua ou palíndromos. Uma delas é que todo número palíndromo com um número par de dígitos é divisível por 11, ou seja, o resto da sua divisão por 11 é zero. Lembrando que um número é divisível por 11 quando, ao somarmos os algarismos ímpares e subtrairmos da soma dos algarismos pares, o resultado será zero ou um número divisível por 11, como pode ser visto no quadro ao lado.

Portanto, quando nos depararmos com um número muito grande, palíndromo e com umnúmero par de dígitos, poderemos, sem efetuar nenhum cálculo, apostar com alguém que ele é divisível por 11 e ganhar a aposta.

 

Pitágoras: a música como ponte entre a filosofia e a matemática

Pitágoras nasceu por volta de 570 a.C., na região da Magna Grécia, era um excelente matemático e um importante filósofo, o que muitos desconhecem é que Pitágoras também foi um dos primeiros gênios da música; não criou belíssimas sinfonias, mas descobriu as notas e intervalos que possibilitariam a futura criação destas.

Ele era um estudioso, um educador e, como tal, desenvolveu métodos que facilitavam o entendimento dos fenômenos e razões questionados por ele.

Pitágoras cercava suas teorias matemáticas por analogias musicais, onde os sentidos eram o ponto de partida para atingir o conhecimento da realidade. Segundo Gorman (1979, p. 182):

“(…) Ele evitava que seus discípulos se envolvessem, logo de início, em teorias abstratas concernentes à matemática e à música, mas fazia, primeiro, com que aprendessem a apreciar as sensações agradáveis, as belas cores e a beleza das formas e dos sons. Após demonstrar-lhes o poder da música no mundo material, explicou-lhes as razões matemáticas invisíveis dessas manifestações.”

Deste modo, ao unir razão e percepção, decidiu por investir seu tempo em descobrir a medida da percepção sonora, usando um monocórdio[1], ele investigou o que acontecia ao dividir o comprimento da corda e percebeu que os sons agradáveis surgiam somente quando a corda era dividida na razão de pequenos números inteiros.

Esta mesma descoberta levou Pitágoras a crer que “todas as coisas são números, ou podem ser representadas por números”, este princípio é o fundamento da filosofia pitagórica.

Pitágoras demonstrou que utilizando a música é possível ensinar origens e fenômenos do mundo, do cosmos e inserir na sociedade, ao mesmo tempo, princípios morais, pois a música “purificava as faculdades psíquicas”, atuando como freio das paixões humanas, como violência, preguiça, angústia…, para ele, todas as coisas, percebidas ou não, poderiam ser relacionadas de algum modo e a música seria o elo de ligação entre elas.

[1] Monocórdio é um instrumento musical de uma única corda, com formato semelhante a lira.

Referência:

GRANJA, Carlos Eduardo de Souza Campos. Musicalizando a escola: música, conhecimento e educação. São Paulo: Ed. Escrituras, Col. Ensaios Transversais, vol. 34.